6 aus 49: die Mathematik hinter den Zahlen

Sechs richtige Zahlen aus 49 möglichen Zahlen tippen – dies klingt eigentlich gar nicht so schwierig. Und dass der große Lottogewinn, der das richtige Gespür für die richtigen Zahlen erfordert, tatsächlich möglich ist, beweisen die Gewinner aus der Lottogeschichte. Aber wie wahrscheinlich ist es nun wirklich, zum Lottogewinner zu werden? Die Mathematik klärt auf.

2015 gab es in nur 365 Tagen 115 neue Lotto-Millionäre zu verzeichnen. Dies klingt gar nicht so wenig. Im Vergleich zum Jahr davor waren dies gleich 19 Prozent mehr oder, in absoluten Zahlen ausgedrückt, 18 glückliche Lottospieler.

Zahlen sind aber bereits das richtige Stichwort, möchte man herausfinden, wie wahrscheinlich manche Vorkommnisse in der Lottowelt sind. Ganz vorn steht natürlich die Frage: Wie wahrscheinlich ist der berühmte „Sechser im Lotto“?

Mathematik der 10. Klasse: Stochastik zeigt Wahrscheinlichkeiten

Wer selbst ausrechnen möchte, wie wahrscheinlich es ist, dass er oder sie einmal zum großen Lottogewinner wird, muss sich meist nur an seine Schulzeit zurückerinnern. Denn heutzutage steigen die meisten Gymnasiasten und zum Teil auch Realschüler in die komplexe Welt der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die auch als Stochastik bekannt ist, mit einer Aufgabe aus dem Lotto ein.

Prinzipiell ist das Ausrechnen einer Wahrscheinlichkeit relativ simpel. Die Rechnung folgt der Anleitung: die Zahl der richtigen Möglichkeiten dividiert durch die Zahl aller Möglichkeiten. Dies klingt erst einmal sehr einfach. Die Herausforderung besteht darin, die Gleichung mit den richtigen Zahlen auszufüllen.

Klar ist allerdings, auch ohne großartig rechnen zu müssen, wie viele Möglichkeiten es für sechs Richtige gibt: nämlich genau eine, da nur sechs verschiedene Zahlen gezogen werden, die exakt so getippt werden müssen. Deutlich schwieriger wird es, wenn danach gefragt wird, wie viele verschiedene Kombinationsmöglichkeiten es für „6 aus 49“ eigentlich gibt.

Rechnen mit der Fakultät

Mathematisch gehört Lotto in das Stochastik-Modell „Kombination ohne Wiederholung bzw. Ziehung ohne Zurücklegen der Kugeln, wobei die Reihenfolge unwichtig ist“. Als Formel geschrieben würde dies übrigens so aussehen, wobei k für die Anzahl der gezogenen Kugeln steht, also sechs, und n für die Zahl unterscheidbarer Kugeln, also 49: Cn,k = (nk) = n! / (k!·(n–k)!). Das Ausrufezeichen ist übrigens der mathematische Ausdruck für die „Fakultät“, bei der absteigend alle folgenden Zahlen miteinander multipliziert werden.

Mit den richtigen Zahlen eingesetzt und ausgerechnet würde dies dann folgendermaßen aussehen: N49,6 = 49! / (6!·43!) = (49! / 43!) / 6! = 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 / (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6) = 13.983.816. Wer nun vollkommen verwirrt ist und nur noch Bahnhof versteht, muss nicht betrübt sein, denn bei der Stochastik kommen meist nur noch diejenigen mit, die ihr ganzes Leben der Mathematik verschrieben haben. Wichtig ist hier nur die Erkenntnis, dass es knapp 14 Millionen verschiedene 6er-Kombinationen im Lotto gibt, womit nun die Wahrscheinlichkeit für die richtigen sechs aus 49 Kugeln errechnet werden kann.

1 (Zahl der richtigen Möglichkeiten) geteilt durch 13.983.816 (Zahl aller Kombinationsmöglichkeiten) ergibt die sehr kleine Zahl von 0,000.000.072. Das scheinen nun aber keine allzu hoffnungsvollen Aussichten für den persönlichen Lottogewinn zu sein. Aber neben Glück zählt beim Lotto ja auch der Spaß am Spiel und das Mitfiebern vor dem TV oder im Internet.

Wer übrigens auf den Geschmack gekommen ist, könnte ja einmal ausrechnen, wie wahrscheinlich es ist, zumindest vier Richtige zu haben. Bei der richtigen Rechnung müsste am Ende das Ergebnis von 0,097 Prozent auf dem Rechenzettel stehen.